Fractales, patrones y dimensión - Yavicoli, Alexia (2019)
Es bien sabido que si un conjunto tiene medida Lebesgue positiva, entonces contiene una copia homotética de cualquier conjunto finito. Surge entonces la pregunta natural: ¿Cuán chico puede ser un conjunto que contenga muchas configuraciones geométricas? En esta tesis demostraré entre otros resultados, que existe un conjunto chico y cerrado (definido explicitamente), sin puntos aislados, que contiene todo patrón finito definido por una familia de funciones que cumple ciertas condiciones. Entre otras aplicaciones, veremos que hay un conjunto de dimensión de Hausdorff cero que contiene todo patrón polinomial finito (en una o varias variables). También veremos que el conjunto de funciones bilipschitz satisfacen las condiciones, lo cual generaliza resultados anteriores sobre funciones lineales.Uno puede hacerse la pregunta en cierto sentido opuesta: ¿Cuán grande puede ser un conjunto que no contenga ciertos patrones? En esta tesis respondo la pregunta en el caso de patrones lineales. Veremos que dados contables patrones lineales, existe un conjunto compacto (definido explicitamente) que no contiene ninguno de esos patrones y tiene dimensión de Hausdorff total, y más aún tiene medida de Hausdorff positiva para cualquier función de dimensión prefijada.Los resultados anteriores muestran que si consideramos como noción de tamaño a la dimensión de Hausdorff, hay conjuntos grandes sin ciertos patrones, como asi también conjuntos chicos con muchos patrones. Otra noción de tamaño importante es el espesor, definido por Newhouse. En esta tesis desarrollaré un trabajo en el que muestro que si un conjuntode Cantor tiene espesor grande entonces contiene progresiones aritméticas largas, como asi también patrones más generales. Además mostraré un resultado en el que estudio el tamaño (dimensiones Lq) de las proyecciones de una clase de medidas autosimilares aleatorias. En el momento de la publicación de este trabajo no se sabia casi nada para la dimensión Lq de medidas fractales con estructurade solapamiento.