Puntos fijos de acciones y funciones en 2-complejos - Sadofschi Costa, Iván (2019)
En esta tesis buscamos comprender cómo los invariantes algebraicos de un espacio X dan información acerca de la existencia de puntos fijos de una función o acción de un grupo en X, especialmente cuando X es de dimensión 2. Probamos que el grupo fundamental de un complejo simplicial finito de dimensión 2 con la propiedad del punto fijo y característica de Euler par no puede ser abeliano o un subgrupo finito de SO(3). Damos un ejemplo de un complejo simplicial finito de dimensión 2 con la propiedad del punto fijo y característica de Euler igual a 2. También probamos que la propiedad del punto fijo no es un invariante homotópico para complejos simpliciales finitos de dimensión 2. Estos resultados responden dos preguntas que formuló R.H. Bing en 1969. Un resultado de J.P. Serre dice que toda acción de un grupo finito en un árbol tiene un punto fijo. C. Casacuberta y W. Dicks conjeturaron que un grupo que actúa en un 2-complejo finito y contráctil tiene un punto fijo. La misma pregunta fue realizada independientemente por Aschbacher y Segev. Estudiamos la conjetura de Casacuberta-Dicks desde diferentes puntos de vista, partiendo de la clasificación dada por Oliver y Segev de los grupos finitos que actúan sin puntos fijos en un 2-complejo acíclico. Probamos que, módulo un caso particular de la conjetura de Kervaire–Laudenbach–Howie, si la conjetura de Casacuberta–Dicks resulta falsa, existe un contraejemplo de una forma particular. Utilizando un resultado de Brown que extiende la teoría de Bass-Serre a 2-complejos, traducimos la conjetura de Casacuberta–Dicks para A5 en una pregunta de teoría combinatoria de grupos, cercana al relation gap problem. Probamos que algunos casos del problema obtenido se siguen del trabajo de Klyachko en ecuaciones sobre grupos. A través de experimentos computacionales analizamos los posibles grupos fundamentales de los G-complejos acíclicos de dimensión 2 sin puntos fijos que son potenciales contraejemplos. También probamos que ciertos grupos superperfectos π no aparecen de esta forma. El complejo de curvas C(Sg) de una superficie orientada Sg de género g fue introducido por Harvey como un análogo de los Tits buildings para mapping class group Mod(Sg). Dado que hay una analogía entre Aut(Fn) y Mod(Sg), es natural buscar un análogo de C(Sg) en este contexto. Probamos que un posible análogo, el complejo simplicial PB(Fn) con símplices las bases parciales no vacías del grupo libre de rango n es Cohen-Macaulay y por lo tanto tiene el tipo homotópico de un wedge de (n−1)-esferas.