Juegos de tipo Tug-of-War y soluciones viscosas - Blanc, Pablo (2018)
La motivación de esta tesis es el estudio de los juegos llamados Tug-of-War en la literatura, y su conexión con ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Consideramos diferentes variantes de juegos de dos jugadores, con suma cero, que dependen de un parámetro que controla el tamaño del paso que se da cuando se actualiza la posición del juego. Se demuestra que el valor de estos juegos converge (cuando el parámetro tiende a cero) a una solución de una EDP (que debe ser interpretada en sentido viscoso). De esta forma nos encontramos con una nueva herramienta, basada en teorı́a de probabilidad, para obtener soluciones de problemas no-variacionales como por ejemplo (i) max{−∆_{p_1} u, −∆_{p_2} u} = 0, (ii) min{−∆_{p_1} u, −∆_{p_2} u} = 0, (iii) λ j (D^2 u) = 0. Aquı́ ∆_p u = div(|∇u|^{p−2} ∇u) es el operador conocido como p−laplaciano y λ j (D^2 u) es ej j−ésimo autovalor de D^2 u. También presentamos resultados relacionados con estos operadores que no están directamente conectados con los juegos que motivaron su estudio. Obtuvimos una interpretación geométrica de las soluciones viscosas de la ecuación λ j (D^2 u) = 0 en términos de envolventes cóncavo/convexas sobre espacios afines de dimensión j. Esta caracterización geométrica nos permitió dar condiciones necesarias y suficientes sobre el dominio para asegurar el buen planteo del problema de Dirichlet asociado a la ecuación. Motivados por las ecuaciones (i) y (ii) consideramos ecuaciones de la forma max {L_1 u, L_2 u} = 0. Presentamos un nuevo esquema iterativo usando el problema del obstáculo, que converge a una solución de esta ecuación. Finalmente, encontramos nuevas cotas para el primer autovalor de un operador elı́ptico totalmente no-lineal. Esta nueva cota inferior nos permite probar que lim λ_{1,p} = λ_{1,∞} =(π/2R)^2 p→∞ donde λ_{1,p} y λ_{1,∞} son el autovalor principal del p-laplaciano homogénero y del infinito laplaciano homogéneo respectivamente.