Limite fluido para la fase de agrupación del proceso zero-range con condensación - Cuesta, Daniela Sabrina (2021)
El proceso zero range (ZRP) es un modelo clásico de sistemas de partículas, en el cual las partículas saltan entre los sitios de un conjunto V con tasas que sólo dependen del número de partículas en el sitio de salida y de las tasas de un paseo aleatorio. Este modelo, introducido en [19], ha generado gran interés en la comunidad tanto matemática como física, debido a que permite modelar variados procesos en las ciencias aplicadas,tales como sistemas granulares, crecimientos de interfase, dinámica de polímeros y procesos de transporte. En esta tesis abordamos el problema de encontrar el límite fluido al proceso zero range con condensación cuando el número de sitios permanece fijo, el tiempo es escalado en forma lineal respecto al número de partículas N, y a tiempo inicial todos los sitios se encuentran macroscópicamente ocupados. Estudiando un problema de martingala probamos que cuando N tiende a infinito, existe el proceso límite (ζt)t≥0, el cual resulta determinístico y sólo depende del límite de las distribuciones a tiempo inicial de las partículas y de las tasas del paseo aleatorio. Utilizando procesos traza, caracterizamos explícitamente a toda la trayectoria (ζt)t≥0. Mostramos que a nivel macroscópico, cada vez que un sitio se vacía, no vuelve a recuperar masa, y que existe un tiempo T0 > 0 tal que a partir de ese momento la trayectoria límite permanece constante. Además, mostramos que los sitios que permanecen macroscópicamente ocupados a partir de T0 son exactamente los sitios cuya distribución invariante asociada al paseo aleatorio es maximal. Por otro lado, partiendo de que un sistema de colas conocido como Jackson network cerrada coincide con el proceso zero range para una elección específica de tasas de salto, hemos extendido nuestros resultados, obteniendo un límite fluido para las Jackson networks generalizadas (cerradas y abiertas), en donde la tasa a la que trabaja cada servidor puede depender del número de tareas que tiene ese servidor. Si bien dicho límite se conocía para el caso de la Jackson network con tasas constantes (es decir, que no dependen del número de tareas en cada servidor), ningún resultado había sido probado para el caso en el que hay dependencia. Los resultados sobre el proceso zero range abordados en esta tesis forman parte de un trabajo en proceso, en colaboración con Inés Armendáriz, Johel Beltrán y Milton Jara. Y los resultados sobre la Jackson network forman parte de otro trabajo en proceso, en colaboración con Inés Armendáriz y Matthieu Jonckheere.