Multiestacionariedad en redes de reacciones bioquímicas y soluciones positivas de sistemas polinomiales ralos - Giaroli, Magalí Paola (2019)
La motivación de este trabajo es aplicar y desarrollar herramientas algebraicas y geométricas para el estudio de multiestacionariedad en redes de reacciones bioquímicas y, más generalmente, soluciones positivas de sistemas polinomiales ralos. Empezamos presentando un marco general para encontrar coeficientes explícitos para los cuales un sistema polinomial real ralo tenga más de una solución positiva, basado en el reciente artículo de Bihan, Santos y Spaenlehauer [7]. Aplicamos este enfoque para encontrar constantes de reacción y constantes de conservación total en redes de reacciones bioquímicas para las cuales el sistema dinámico asociado es multiestacionario. Además, proponemos un método mixto, al considerar diferentes soportes para cada polinomio. Ejemplificamos nuestros resultados teóricos en diferentes redes bioquímicas de interés, de tamaño y número de variables arbitrario. En particular, nuestros resultados son las herramientas clave para identificar regiones de multiestacionariedad en cascadas enzimáticas compuestas por ciclos de Goldbeter - Koshland con un número arbitrario de niveles, en el caso de que una misma fosfatasa catalice la transferencia de grupos fosfato en dos niveles diferentes. También usamos este método para estudiar los sistemas de fosforilaciones secuenciales distributivas con n sitios. Damos condiciones conjuntas en las constantes de reacción y las constantes de conservación total que aseguran n+1 estados estacionarios positivos si n es par (y n estados estacionarios si n es impar), solo asumiendo que aparecen ¼ de los intermedios en el modelado de las reacciones del mecanismo. En este contexto de eliminación de intermedios, obtenemos un resultado general basado en resultados de [42], que permite extender estados estacionarios de la red reducida a la red original, bajo ciertas condiciones en las constantes de reacción. Finalmente, para ciertos sistemas polinomiales ralos, damos condiciones en el soporte y los coeficientes que garantizan al menos una solución real positiva, basados en teoría de grado y dualidad de Gale.