Productos tensoriales simétricos : teoría métrica, isomorfa y aplicaciones - Galicer, Daniel Eric (2012)
Esta tesis tiene como objeto contribuir al desarrollo de la teoría métrica e isomorfa de productos tensoriales simétricos en espacios de Banach. Mostramos varios ejemplos donde la teoría de ideales de polinomios homogéneos resulta enriquecida con el uso de técnicas tensoriales. Probamos que la extensión de Aron-Berner preserva la norma para todo ideal maximal y minimal de polinomios homogéneos. Este resultado puede interpretarse como una versión polinomial de uno de los “Cinco Lemas Básicos” de la teoría de productos tensoriales. Más aún, enunciamos y probamos análogos simétricos de dichos lemas y damos, a lo largo del texto, varias aplicaciones. Estudiamos las cápsulas inyectivas y projectivas de una norma tensorial simétrica, analizando sus propiedades y relaciones. Describimos los ideales de polinomios maximales asociados a dichas normas en términos de ideales de composición e ideales cocientes. Examinamos las normas naturales de Grothendieck en el n-ésimo producto tensorial simétrico y mostramos que, para n ≥ 3, hay exactamente seis de ellas, a diferencia del caso n = 2 donde hay cuatro. Definimos la propiedad de Radón-Nikodym simétrica para normas s-tensoriales y mostramos, bajo ciertas hipótesis, que los ideales de polinomios maximales asociados a normas con dicha propiedad coinciden isométricamente con su núcleo minimal. Como consecuencia, probamos la existencia de ciertas estructuras en algunos ideales de polinomios clásicos (existencia de bases o la propiedad de Radon-Nikodym). Por otra parte, damos una demostración alternativa del hecho que el ideal de los polinomios integrales coincide isométricamente con el ideal de los polinomios nucleares en espacios Asplund. Analizamos la existencia de bases incondicionales en ideales de polinomios. Para esto, estudiamos incondicionalidad en productos tensoriales simétricos. Damos un criterio sencillo para determinar si un ideal de polinomios carece de base incondicional. Utilizando dicho criterio mostramos que muchos de los ideales usuales no poseen estructura incondicional. Entre ellos, los r-integrales, r-dominados, extendibles y r-factorizables. Para muchos de estos ejemplos obtenemos incluso que la sucesión básica monomial no es incondicional. Estudiamos la preservación de otro tipo de estructuras en el producto tensorial simétrico: la estructura de álgebra de Banach y la estructura de M-ideal. Mostramos cuáles de las normas s-tensoriales de Grothendieck preservan la estructura de álgebra. Por otra parte, probamos que la norma inyectiva simétrica destruye la estructura de M-ideal (opuesto a lo que pasa en el producto tensorial completo con la norma inyectiva). Si bien dicha estructura se pierde en el caso simétrico, mostramos que, si E es Asplund y M-ideal en F, entonces los polinomios integrales sobre E se extienden a F preservando la norma de manera única.