Variedades combinatorias no homogéneas y dualidad de Alexander - Capitelli, Nicolás Ariel (2014)
En esta Tesis introducimos la teoría de NH-variedades, una extensión de la teoríaclásica de variedades combinatorias al contexto no homogéneo. Las NH-variedades poseenuna estructura local que consiste en versiones simpliciales de espacios euclídeos de distintasdimensiones, lo que les confiere propiedades muy parecidas a las de las variedadesusuales. Nuestro trabajo permite extender los resultados principales de la teoría clásicade variedades a una clase mucho más amplia de espacios; entre estos resultados, el teoremade expansiones regulares de Alexander y la existencia de entornos regulares. A lo largode esta Tesis exhibimos muchos ejemplos de espacios que forman parte de esta teoría perono están incluidos en la teoría clásica. Introducimos también la noción de shelling nohomogéneo y caracterizamos todas las NH-variedades shellables en el sentido de Björnery Wachs. La teoría de NH-variedades puede aplicarse al estudio de variedades clásicas ylo exhibimos en el caso concreto de la factorización de operaciones simpliciales entre variedadescombinatorias (starrings, shellings y bistellar moves). En particular, se muestraque dos variedades son PL-homeomorfas si y sólo si pueden relacionarse por medio de NH-factorizaciones involucrando una sucesión de NH-variedades. En la segunda parte del trabajo analizamos la relación entre la teoría clásica y la nohomogénea en el contexto de la dualidad de Alexander combinatoria. Estudiamos el dualde Alexander de las bolas y esferas combinatorias y mostramos que los doble duales deestos complejos son NH-bolas y NH-esferas, las versiones no homogéneas de las bolas yesferas clásicas. Además, definimos la noción de NH-bola y NH-esfera minimal, bolas yesferas no puras que satisfacen una condición de minimalidad en la cantidad de símplicesmaximales. Las NH-bolas y NH-esferas minimales caracterizan completamente la clasedel simplex y del borde del simplex en la relación de equivalencia generada por tomardual de Alexander. Uno de los resultados principales de este trabajo es la generalizaciónal contexto no homogéneo de los resultados de Dong y Santos-Sturmfels sobre el tipo homotópico del dual de Alexander de las bolas y esferas combinatorias: el dual de Alexanderde una NH-bola es un espacio contráctil y el dual de Alexander de una NH-esfera eshomotópicamente equivalente a una esfera. Nuestra generalización muestra que el tipohomotópico del dual de Alexander es preservado para una clase mucho más amplia de espaciosque los contemplados en los resultados originales de Dong y Santos-Sturmfels. Porejemplo, incluye todas las NH-bolas y NH-esferas exhibidas (explícita o implícitamente)en esta Tesis.