Un problema de frontera libre en teoría de combustión - Fernández Bonder, Julián (2002)
En esta Tesis consideramos el siguiente problema de perturbaciónsingular que se presenta en teoría de combustión Δuᵋ - uᵋt = Yᵋƒε(uᵋ) en D, ΔYᵋ - Yᵋt = Yᵋƒε(uᵋ) en D,donde D C Rᴺ+¹, ƒε(s) = 1/ε² ƒ(s/ε) con ƒ una función Lipschitz soportadaen (-∞, 1]. En este sistema Yᵋ es la fracción de masa de algún reactante, uᵋ latemperatura rescalada de la mezcla y ε es esencialmente el inverso dela energía de activación. Este modelo es derivado en el contexto de lateoría de llamas premezcladas equidifusionales para número de Lewis 1. Probamos que, bajo hipótesis adecuadas sobre las funciones uᵋ e Yᵋ, podemos pasar al límite (ε → 0) — llamado límite de alta energíade activación — y que la función límite u = lim uᵋ = lim Yᵋ es unasolución del siguiente problema de frontera libre (P) Δu - ut = 0 en {u>0} │Vu│ = √2M(x,t) en ∂{u>0}en un sentido puntual en los puntos regulares de la frontera libre y en elsentido de la viscosidad. En (P), M(x,t) = ƒ¹̠w˳(x,t) (s+w˳(x,t))ƒ(s)ds y -1 < w˳= limε→0 Yᵋ-uᵋ/ε. Como Yᵋ—uᵋ es una solución de la ecuación del calor, queda completamentedeterminada por sus datos iniciales y de contorno. Enparticular, la condición de frontera libre depende fuertemente de lasaproximaciones de esos datos. También probamos que, bajo condiciones más débiles sobre losdatos, la función límite u (que llamaremos solución límite) es una supersoluciónclásica del problema de frontera libre. Más aún, si D ∩ ∂{u > 0} es una superficie Lipschitz, u resulta una solución clásica de (P). Finalmente probamos, bajo hipótesis geométricas adecuadas sobrelos datos, la unicidad de solución límite para el problema (P).