Fractales, patrones y dimensión - Yavicoli, Alexia (2019)
Es bien sabido que si un conjunto tiene medida Lebesgue positiva, entonces contiene una copia homotética de cualquier conjunto finito. Surge entonces la pregunta natural: ¿Cuán chico puede ser un conjunto que contenga muchas configuraciones geométricas? En esta tesis demostraré entre otros resultados, que existe un conjunto peque˜no y cerrado (definido explícitamente), sin puntos aislados, que contiene todo patrón finito definido por una familia de funciones que cumple ciertas condiciones. Entre otras aplicaciones, veremos que hay un conjunto de dimensión de Hausdorff cero que contiene todo patrón polinomial finito (en una o varias variables). También veremos que el conjunto de funciones bilipschitz satisfacen las condiciones, lo cual generaliza resultados anteriores sobre funciones lineales. Uno puede hacerse la pregunta en cierto sentido opuesta: ¿Cuán grande puede ser un conjunto que no contenga ciertos patrones? En esta tesis respondo la pregunta en el caso de patrones lineales. Veremos que dados contables patrones lineales, existe un conjunto compacto (definido explícitamente) que no contiene ninguno de esos patrones y tiene dimensión de Hausdorff total, y más aún tiene medida de Hausdorff positiva para cualquier función de dimensión prefijada. Los resultados anteriores muestran que si consideramos como noción de tama˜no a la dimensión de Hausdorff, hay conjuntos grandes sin ciertos patrones, como así también conjuntos chicos con muchos patrones. Otra noción de tama˜no importante es el espesor, definido por Newhouse. En esta tesis desarrollaré un trabajo en el que muestro que si un conjunto de Cantor tiene espesor grande entonces contiene progresiones aritméticas largas, como así también patrones más generales. Además mostraré un resultado en el que estudio el tama˜no (dimensiones L^q) de las proyecciones de una clase de medidas autosimilares aleatorias. En el momento de la publicación de este trabajo no se sabía casi nada para la dimensión L^q de medidas fractales con estructura de solapamiento.