El grupo de estructura de una JB-álgebra y la acción sobre el cono de elementos positivos - Luna, José Alejandro (2022)
El objetivo de la tesis es caracterizar al grupo de estructura de una JB-álgebra y estudiar las estructuras métricas que aparecen en un subgrupo del mismo y en el cono de elementos positivos, vinculadas por una acción. En el primer capítulo revisaremos las estructuras métricas y geométricas con las que trabajaremos en los siguientes capítulos. En el segundo capítulo daremos un vistazo general a dos temas con los que trabajaremos durante la tesis: los conos y las álgebras de Jordan. Daremos especial atención a las JB-álgebras, cuya norma está asociada a la estructura de orden dada por el cono de elementos de espectro positivo Ω. Estudiaremos estos elementos, estableceremos un vínculo entre el espectro de elementos x y sus operadores de multiplicación Lx y caracterizaremos los elementos con operador cuadrático Ux = 2L2x − Lx2 positivo. En el tercer capítulo vamos a considerar un grupo de automorfismos que actúan sobre el cono de elementos positivos; queremos darle estructura de grupo de Lie-Banach. Para dar una estructura de Lie y de variedad apropiada al grupo de transformaciones que fija el cono, que llamaremos G(Ω), estudiaremos primero un grupo más grande, el grupo de estructura, y derivaremos la estructura desde allí. Caracterizaremos también a los elementos del grupo de estructura y aplicaremos esto al estudio de los isótopos de Jordan. Para terminar, estudiaremos el caso particular del álgebra de Jordan especial de operadores de un espacio de Hilbert. En el cuarto capítulo estudiaremos la estructura simétrica y métrica del grupo G(Ω) y del cono Ω. Mostraremos una conexión invariante sobre el grupo de estructura. Presentaremos al cono como un espacio homogéneo de Cartan sobre G(Ω) y por lo tanto obteniendo una conexión natural sobre él. Luego dotaremos a estos grupos con una métrica invariante a izquierda usando la norma uniforme en las álgebras de Lie de estos grupos. Dotaremos también a Ω con una métrica de Finsler invariante a izquierda y mostraremos que es igual a la métrica cociente obtenida a partir de G(Ω). Finalmente usaremos la noción de levantado horizontal de geodésicas para mostrar que los grupos a un parámetro en G(Ω) con velocidad inicial en el espacio de operadores de multiplicación son minimales para la distancia inducida por la métrica invariante en G(Ω) [fórmula aproximada, revisar la misma en el original].