Problemas de frontera libre en espacios de Orlicz - Martínez, Sandra Rita (2006)
En esta tesis, se estudia el siguiente problema de frontera libre: Para un dominio Ω de RN, hallar u ≥ 0 tal que (B) { Lu := div (g([∇u]).∇u/[∇u])=0 en {u>0}∩ Ω ; [∇u]=λ* en ∂{u>0}∩ Ω } Se denomina Problema de Frontera Libre ya que no se conoce a priori la ubicación de ∂{u>0}. La segunda ecuación en (B) se conoce como “condición de frontera libre". Este problema aparece en numerosas aplicaciones. En este trabajo discutiremos tres de ellas. Primero, estudiamos el problema de “chorros" (jets). Para un dominio suave y acotado en RN, consideramos primero el siguiente problema, minimizar el funcional,J (v) = ∫_Ω G([∇u]) dx + λ {u>0} con v-φ0 ∈ W_0 1.G(Ω) para una φ0 ≥0, φ0 ∈ L ∞(Ω) y ∫_Ω G([∇u]) dx <∞. W1.G(Ω) es la clase de funciones débilmente diferenciables con ∫_Ω G([u]) dx <∞ y ∫_Ω G([∇u]) dx <∞. Aquí denominamos G´ = g. El segundo, es un problema de diseño óptimo. Más precisamente, minimizar J (v) = ∫_Ω G([u]) dx con v-φ0 ∈ W_0 1.G(Ω) y tal que [{v>0}] =α∈(0,[Ω]), para una función acotada, no negativa y no idénticamente nula φ0 tal que ∫_Ω G([u]) dx <∞. Como tercera aplicación estudiamos un problema de perturbación singular de interés en combustión. Para ε> 0, tomamos uε una solución débil de Luε = βε(uε) con uε≥ 0: Aquí β∈Lip(R), es positiva en (0; 1), cero fuera de [0; 1] y tal que ∫_0 1 β(s)ds=M y βε(s)=1/ε β(s/ε). En todos estos problemas, imponemos condiciones sobre la función g de forma tal que se puede comportar distinto en 0 y en infinito. Más precisamente, pedimos que existan constantes δ; g0 > 0 tales que,0 < δ ≤tg´(t)/g(t)≤g0 ∀t >0. Es fácil ver que, el conjunto de funciones que cumplen nuestras condiciones incluye funciones no homogéneas. Estas condiciones fueron introducidas por Lieber-man en [22] y generalizan las llamadas condiciones naturales de Ladyzhenskaya y Ural'tseva (ver [18]). En dicho trabajo el autor estudia la regularidad de soluciones de Lu = f, donde f es una función acotada. Para el primer problema, probamos las siguientes propiedades de los minimizantes: Primero la existencia, luego la continuidad HÄolder y con esto probamos la continuidad Lipschitz uniforme (i.e: el [∇u] está acotado en cada compacto de Ω por una constante independiente del minimizante u). Además tenemos que los minimizantes satisfacen, en un sentido débil, el problema de frontera libre (B), con λ * una constante tal que g(λ *)λ * -G(λ *) = λ *. Además probamos una cierta propiedad de nodegeneracion de los minimizantes en cualquier punto de la frontera libre, y finalmente obtenemos que la misma tiene medida de Hausdorff N -1 dimensional finita; por lo tanto {u > 0} ∩ Ω tiene perímetro localmente finito en Ω. También definimos dos nociones distintas de solución débil (en sentido distribucional y en sentido puntual) del problema (B) y probamos, para las primeras, que estas soluciones tienen casi todas las mismas propiedades que tienen los minimizantes. Probamos la regularidad de la frontera libre de las soluciones débiles de (B), es decir que ∂red {u > 0} ∩ Ω es una superficie C1α y que en el caso de los minimizantes (y para las soluciones débiles en sentido distribucional) el complemento tiene medida de Hausdorff N-1 dimensional nula. Para ello tomamos ideas del trabajo pionero [4]. También probamos, para una subclase de funciones g, y cuando N = 2, que toda la frontera libre es regular. Para trabajar con este problema, debimos lidiar con la degeneración del problema y con la falta de homogeneidad al mismo tiempo. En el segundo problema, probamos la regularidad de los minimizantes estudiando un problema de penalización asociado a este. Probamos que los minimizantes del problema penalizado son soluciones débiles de (B) en sentido distribucional (de tipo I). Los resultados de regularidad para el problema de penalización son consecuencia de los resultados que tenemos para soluciones débiles de (B). La ventaja del método es que no es necesario pasar al límite para volver al problema original. Esto es, si el parámetro en el problema de perturbación es suficientemente chico, tenemos que los minimizantes son soluciones del problema de optimización. Nuevamente, para tratar este problema, debimos lidiar con la no linealidad y la no homogeneidad del operador. En el tercer problema, probamos que bajo ciertas hipótesis sobre las soluciones, una función límite es una solución débil en el sentido puntual del problema (B) (de tipo II). Por lo tanto, todos los resultados de regularidad de soluciones de tipo II se aplican a los límites de soluciones del problema de perturbación singular.