Cuantización semiclásica de mapas ergódicos - Vallejos, Raúl Oscar (1995)
El límite semiclásico de la mecánica cuántica de sistemas caóticos constituye untema de investigación de considerable interés en la actualidad. En particular, se haprestado especial atención al estudio de los mapas ergódicos del toro, en sus versionesclásica y cuántica; estos son modelos sencillos que no presentan otras dificultades queaquellas ligadas a su propia caoticidad. Este trabajo de tesis trata de aplicar a la mecánica cuántica las técnicas de ladinámica simbólica. A nivel clásico la dinámica simbólica introduce las coordenadasapropiadas para la descripción efectiva del comportamiento caótico; en cambio, anivel cuántico no existe una descripción semejante (aparte de algunos importantestratamientos a nivel semiclásico). El objetivo final, aun lejano, de este tipo de investigacioneses reescribir las ecuaciones de la mecánica cuántica en términos de símbolosapropiados para cada problema. Atacamos el problema estudiando los apectos cuánticos de algunos modelos dondela dinámica simbólica clásica es especialmente sencilla. Nos concentramos en la construcciónde objetos que hemos llamado rectángulos cuánticos y que presentan efectosde difracción característicos de los fenómenos ondulatorios: son los equivalentescuánticos de las particiones de Markov clásicas. Investigamos sus propiedades espectralesy distintas posibilidades de construcción. Se concluye que es posible construiruna partición generatriz cuántica y con ella realizar una descomposición simbólica delos propagadores que resulta formalmente idéntica a la construcción clásica. Como paso previo a la aplicación de estos métodos se han realizado estudiosclásicos, cuánticos y semiclásicos de los siguientes modelos: (cada uno de los cualespresenta aspectos distintos) a) el mapa del panadero, b) el mapa D (una versiónconservativa de la herradura de Smale) y c) el mapa del gato de Arnold. Analizamosen detalle el esquema de cuantización de Van Vleck en relación al mapa del panaderoy al mapa D. Mostramos que, en estos casos, el esquema de Van Vleck producefamilias de mapas cuánticos muy similares y con el mismo límite clásico.