Métodos numéricos acelerados de alta precisión para problemas de scattering por superficies y colecciones de partículas incluyendo anomalías de Wood

• Autores: Maas, Martín
• Año de publicación: 2018
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Bruno, Oscar Pablo; Grings, Francisco Matías
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Esta tesis introduce metodologías matemáticas y computacionales eficientes para el tratamiento de problemas de dispersión de ondas electromagnéticas por superficies rugosas y colecciones de partículas, con el objetivo de poder predecir la energía retrodispersada o emitida por medios naturales complejos—como la superficie del océano o los suelos agrícolas vegetados—en función de los ángulos de incidencia, longitudes de onda y polarizaciones. El objetivo de la presente tesis es, precisamente, desarrollar algoritmos que posibiliten la aplicación de la simulación numérica en configuraciones realistas, y así colaborar con la eliminación de discordancias entre teorías desarrolladas bajo suposiciones simplificadoras y las observaciones generadas en el área de teledetección en microondas. Los sucesivos capítulos de esta tesis introducen aspectos matemáticos y computacionales relativos a (1) Problemas de scattering en configuraciones periódicas; (2) Desarrollo y análisis de métodos basados en ecuaciones integrales para problemas que incluyen el Laplaciano fraccionario, y (3) Problemas de scattering electromagnéticos y acústicos en configuraciones tridimensionales. El método de aceleración introducido en la presente tesis provee una nueva representación, basada en transformadas rápidas de Fourier (FFT), métodos espectrales de integración y ciertas “fuentes equivalentes desplazadas” que, por primera vez, ha permitido el tratamiento rápido y a alto orden para problemas periódicos bajo cualquier frecuencia espacial k, incluyendo a las llamadas Anomalías de Wood. Este método, que permite resolver problemas de muy grandes tama˜nos acústicos o eléctricos, no sufre de las importantes restricciones y deterioro que resultan de la existencia de las anomalías de Wood—y, por lo tanto, se puede aplicar con toda generalidad y con muy alta precisión, en tiempos de cómputo muy reducidos. Por otro lado, el estudio del Laplaciano Fraccionario presentado en esta tesis introduce ciertas ecuaciones integrales asociadas que, según mostramos, están relacionadas con problemas de scattering por estructuras infinitamente delgadas. De este modo, este trabajo extiende ciertas ideas centrales en el área de ecuaciones integrales a otras áreas de aplicación. Las soluciones del Laplaciano Fraccionario desarrollan singularidades en los bordes del dominio, lo que ha ocasionado, así como en el caso análogo en electromagnetismo, dificultades en su resolución numérica y en la teoría de regularidad asociada. En particular, la tesis presenta un método numérico que converge exponencialmente rápido mientras que el previo estado del arte provee un orden de convergencia lineal. El análisis de regularidad de las soluciones para este problema involucra, entre otras metodologías, el uso de ciertos espacios de funciones (introducidos por Babuska y Guo en 2002) que no habian sido considerados previamente en el contexto del Laplaciano Fraccionario. Finalmente, la tesis presenta un algoritmo aplicable a problemas de scattering electromagnético en configuraciones tridimensionales, que inlcuyen tanto superficies aleatorias como partículas que modelan elementos de vegetación. En gerenal, el conjunto de estos esfuerzos ha dado lugar a colaboraciones con investigadores en diversas áreas de aplicación, las cuales se mencionan, junto a planes para trabajos futuros, en el capítulo final de la tesis.
This thesis introduces efficient mathematical and computational methodologies for the treatment of problems of scattering of electromagnetic waves by rough surfaces and groups of particles, with applicability to evaluation of energy backscattered or emitted by complex natural media—such as oceanic surfaces or vegetated agricultural soils—as a function of incidence angles, wavelengths and polarizations. The goal of this thesis is to develop algorithms that enable the accurate numerical simulation of realistic configurations, and thus, the elimination of discrepancies between theories developed under simplifying assumptions and observations generated in the area of microwave remote sensing. The successive chapters of this thesis introduce mathematical and computational aspects concerning (1) Scattering problems in periodic configurations; (2) Development and analysis of methods based on integral equations for problems concerning the Fractional Laplacian operator, and (3) Problems of electromagnetic and acoustic scattering in three-dimensional configurations. The acceleration method introduced in this thesis provides a new representation, based on fast Fourier transforms (FFT), spectral integration methods and certain “shifted equivalent sources”, which, for the first time, have allowed rapid and high order treatment of periodic problems under any spatial frequency k, including so-called Wood Anomalies. This method, which enables solution of problems of very large electrical sizes, does not suffer from the important restrictions and deterioration that result from the existence of Wood anomalies—and, therefore, can be applied with all generality, in computing times of the order of seconds and with very high accuracies. On the other hand, the study concerning the Fractional Laplacian operator presented in this thesis introduces certain associated integral equations that, as we show, are related to problems of scattering by infinitely thin structures. Therefore, this work extends central ideas in the area of integral equations to other application areas. As it is known, the solutions of the Fractional Laplacian equations develop singularities at the edges of the domain, which causes, as in the analogous electromagnetic case, certain difficulties in their numerical solution and in the associated regularity theory. In particular, the thesis presents a numerical method for this problem that converges exponentially fast—while the previous state of art provides a linear convergence order only. The analysis of the regularity of solutions for this problem involves, among other tools, the use of certain function spaces (introduced by Babuˇska and Guo in 2002) that had not previously been considered in the context of the Fractional Laplacian. Finally, the thesis presents an algorithm applicable to problems of electromagnetic scattering in three-dimensional configurations including both random surfaces and particles that model vegetation elements. In general, all these efforts have given rise to a series of collaborations with researches in relevant application areas, which are mentioned, along plans for future work, in the concluding chapter of this thesis.
Fil: Maas, Martín. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.