Curvatura no-positiva y grupos de Artin - Blufstein, Martín Axel (2023)
En esta tesis introducimos diferentes generalizaciones y variantes de la noción de curvatura no-positiva en el contexto de la teoría geométrica de grupos. Presentamos nuevas condiciones de small cancellation (T’), τ′ y τ′<, y estudiamos sus propiedades. Obtenemos resultados acerca de hiperbolicidad, reducibilidad diagramática, ecuaciones sobre grupos y resolubilidad de los problemas de la palabra y la conjugación para grupos que satisfacen estas condiciones. En el proceso definimos complejos (estrictamente) sistólicos angulados, que generalizan a los complejos sistólicos al permitir ángulos diferentes a π/3. El segundo punto central de esta tesis son los grupos de Artin. Estudiando la condición τ′, mostramos que los grupos de Artin son dos-dimensionales (i.e. tienen dimensión geométrica a lo sumo 2) si y sólo si su presentación estándar satisface la condición τ′. Una importante conjetura acerca de grupos de Artin es si la intersección de subgrupos parabólicos es un subgrupo parabólico. Al introducir complejos sistólicos-por-función (otra generalización de complejos sistólicos) y utilizar su geometría, resolvemos esta conjetura para el caso de grupos de Artin (2,2)-libres dos-dimensionales. Otra pregunta abierta para grupos de Artin consistía en decidir si un subgrupo parabólico P1 de un grupo de Artin A contenido en otro subgrupo parabólico P2 de A es un subgrupo parabólico de P2. Finalizamos esta tesis dando una respuesta afirmativa a esta pregunta para todos los grupos de Artin. A diferencia del resto de nuestro trabajo, las técnicas utilizadas en este caso son mayoritariamente algebraicas en lugar de geométricas.