Sistemas de ecuaciones polinomiales ralas : aspectos teóricos y algoritmos - Herrero, María Isabel (2013)
Esta tesis se centra en la resolución efectiva de sistemas de ecuaciones polinomiales reales (es decir, dadas por polinomios con estructura monomial prefijada). A lo largo del trabajo, se analizan distintos aspectos teóricos de las variedades afines definidas por estos sistemas y, en base a los resultados de este análisis, se diseñan nuevos algoritmos simbólicos probabilísticos para describirlas cuyas complejidades dependen de invariantes algebraico-combinatorios asociados al sistema. En primer lugar, se presenta un algoritmo para el cálculo de las soluciones aisladas en Cn de sistemas polinomiales ralos de n ecuaciones y se prueba una cota superior genéricamente exacta para la cantidad de estas soluciones. A continuación, se considera el problema de la descomposición equidimensional de variedades afines definidas por sistemas ralos. Para sistemas genéricos, se da una caracterización combinatoria de esta descomposición en función de la estructura de las ecuaciones y se construye un algoritmo para su cálculo. Para sistemas ralos cuadrados arbitrarios, se obtiene una cota superior para el grado de la variedad que definen, que mejora las cotas previas conocidas, y se exhibe un algoritmo que calcula conjuntos finitos de puntos representativos de cada componente equidimensional con complejidad polinomial con la cota hallada para el grado. Finalmente, se construye un algoritmo que, dada una variedad definida por un sistema ralo genérico, calcula la clausura de Zariski de su proyección a un subespacio de coordenadas con complejidades del mismo tipo que para los problemas anteriores.