Teorías de cohomología de coálgebras - Farinati, Marco Andrés (1999)
Estudiamos propiedades de las coálgebras a través de las teorías de cohomología Hoch* y H* definidas por Y. Doi, que son análogos a la (co)homología de Hochschild de álgebrasasociativas. Se demuestra la invariancia de estas teorías por equivalecias Morita-Takeuchi, i.e.demostramos que si C y D son dos coálgebras tales que sus categorías de corepresentaciones sonequivalentes, entonces Hoch* (C) = Hoch* (D) y H* (C) = H* (D). A través de la relación entre H2y las extensiones de coálgebras se estudia, en el caso coconmutativo, una clase de coálgebras que llamamos suaves. Se demuestran resultados de sucesion exactas que involucran objetos universalespara las coderivaciones de una dada coálgebra y la relación con el mismo objeto asociado a unasubcoálgebra. Se calculan completamente los grupos de cohomología Hoch* (C) para coálgebrassuaves sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Se define la cohomologíaciclica de coálgebras y se demuestran sus propiedades fundamentales, como la invariancia Morita- Takeuchi y un teorema de escisión a la Wodzicki (para HC*, Hoch* y otras teorías intermedias). Seestudia la categoría derivada de una coálgebra D(C) y de una coálgebra diferencial graduada. Sedemuestraun teorema de caracterización de equivalecias derivadas y bajo ciertas condiciones sedemuestra la invariancia de Hoch* y H* bajo equivalecias derivadas. Estas condiciones contienenlos siguientes ejemplos: equivalecias Morita - Takeuchi (generalizando los resultados anteriores),invariancia por cuasi-isomorfismos (i.e. f: C --> D un quasi-isomorfismo de coálgebras entonces Hoch*(C) = Hoch* (D, idem H* y HC*) y equivalencias basculantes (noción análoga a la equivalenciatilting).