K-teoría algebraica y topológica de anillos de grupo - Tartaglia, Gisela (2015)
Las conjeturas de isomorfismo prevén una descripción de la K-teoría (en sus diversas variantes)del producto cruzado R x G de un grupo G con coeficientes en un anillo R equipado con unaacción de G, en términos de topología algebraica. En esta tesis estudiamos diferentes versiones de las conjeturas con ideales de operadores como anillos de coeficientes. Consideramos primero el morfismo de ensamble para la K-teoría algebraica con coeficientesen el anillo S de operadores de Schatten. Guoliang Yu probó que este morfismo es racionalmenteinyectivo. Su prueba involucra la construcción de un cierto caracter de Chern que funciona parael caso particular con coeficientes K(S). Aquí damos una demostración alternativa del resultadode Yu, formulándolo en términos de K-teoría homotópica y utilizando el caracter de Chern usualcon valores en la homología cíclica. Mostramos además que si G satisface la conjetura de isomorfismo racional para K-teoría homotópica con coeficientes en el álgebra de operadores de traza en un espacio de Hilbert, entoncestambién satisface la conjetura de Novikov para K-teoría algebraica y la parte de inyectividadracional de la conjetura de Farrell-Jones con coeficientes en cualquier cuerpo de números. Finalmente probamos la validez de la conjetura de Farrell-Jones para un grupo a-T-menable G con coeficientes en un anillo de la forma Ix(UxK), donde I es un G-anillo K-escisivo, U es una G-C*-álgebra y K = K(l´2(N) es ideal de operadores compactos. Utilizando esto y el resultado de Higson y Kasparov sobre la validez de la conjetura de Baum-Connes con coeficientes para talesgrupos, mostramos que si A es estable y separable la K-teoría del producto cruzado algebraico U x G coincide con la K-teoría de la C*-álgebra plena C*(U;G).