Test de hipótesis sobre homología persistente utilizando la distancia de Fermat - Battocchio, Diego Javier (2025)
Esta tesis se centra en el análisis de datos topológicos (TDA) y, específicamente, en el desarrollo de tests de hipótesis para detectar características topológicas de una variedad a partir de muestras i.i.d. de puntos. Se introducen conceptos clave de TDA y se describen técnicas actuales para realizar tests sobre diagramas de persistencia, los cuales resumen la homología de un conjunto de datos, facilitando la identificación de ciclos de primer grado (curvas no deformables a un punto). Tradicionalmente, estas pruebas se basan en la norma euclídea, pero aquí se explora el uso de la distancia de Fermat, que ha demostrado ser beneficiosa en conjuntos con topología subyacente. Mediante simulaciones de regiones de confianza sobre datos sintéticos y reales, se comparan ambas distancias, demostrando que la distancia de Fermat supera a la euclídea en la detección de características topológicas, con resultados estadísticamente significativos. Además, se muestra que la distancia de Fermat es computacionalmente escalable frente a la dimensionalidad de los datos. Como aporte adicional, se desarrolló una biblioteca en R para facilitar investigaciones futuras sobre el uso de la distancia de Fermat en este contexto.