El Teorema de Kochen-Specker y las semánticas no deterministas - Jorge, Juan Pablo (2019)
Desde los trabajos de von Neumann y Birkhoff hasta la actualidad, el estudio de distintas estructuras algebraicas asociadas al formalismo cuántico ha dado lugar a interesantes desarrollos. A modo de ejemplo, el teorema de Kochen-Specker ha tenido una fuerte repercusión en los fundamentos e interpretación de la teoría cuántica. En este trabajo, prestaremos especial atención al abordaje lógico-algebraico iniciado por von Neumann y Birkhoff (aunque también discutiremos otros formalismos, tales como la lógica de la superposición de Tzouvaras). Es sabido que el teorema de Kochen-Specker (KS) no permite que el retículo de proyectores cuánticos, que representa el conjunto de todas las proposiciones empíricas asociadas a un sistema cuántico, tenga una valuación clásica a un conjunto de dos valores, como por ejemplo, 1 y 0 (o V y F). En este trabajo, discutiremos la relación entre este hecho y la noción - tomada de la lógica - de funcionalidad de la verdad. Nuestro objetivo es mostrar que existen semánticas no deterministas, como por ejemplo, la semántica de matrices no deterministas (N-M) de A. Avron, A. Zamansky y I. Lev, que pueden usarse para caracterizar a los estados cuánticos como valuaciones no deterministas. El sistema formal que adaptamos a la Mecánica Cuántica es la Semántica de matrices no deterministas, un sistema formal que puede brindar semánticas apropiadas para diversos sistemas sintácticos. Esta semántica tiene su origen en la primera década de este siglo y se ha aplicado con éxito en diferentes terrenos. Probamos que existen Nmatrices que dan semánticas adecuadas para un lenguaje basado en el álgebra de proyectores ortogonales del espacio de Hilbert. En el primer capítulo comenzamos con una introducción a los conceptos básicos del formalismo de espacios de Hilbert, para luego enunciar los postulados de la mecánica cuántica no relativista. Finalizamos el capítulo con una breve exposición de los teoremas de Kochen-Specker y Gleason [81, 58], que ser an relevantes en el resto del trabajo. En el segundo capítulo introducimos las nociones de valuaciones funcionales, homomorfismos de álgebras, retículos no distributivos, álgebras de Boole y semánticas clásicas. Es importante saber que es tener una semántica clásica para luego comprender las diferencias a la hora de dotar a nuestro sistema con una semántica de otro estilo. En el tercer capítulo presentamos el formalismo de las Nmatrices [11, 13]. Se definen los conceptos de adecuación y rexpansión, que son de importancia para nuestros objetivos. Mostramos algunas de las tantas aplicaciones de este sistema y preparamos el terreno para su aplicación a la física cuántica. En el cuarto capítulo aplicamos las Nmatrices a sistemas cuánticos generales y probamos que las restricciones impuestas sobre las valuaciones por nuestra Nmatriz cuántica, son equivalentes a las condiciones necesarias para que se cumpla el teorema de Gleason, con lo cual, damos una caracterización de los estados cuánticos como valuaciones de semánticas no deterministas. También se muestra como construir Nmatrices para casos en los cuales no existe certeza absoluta de un resultado dado. Esto es, sistemas en los cuales la imprecisión experimental debe tenerse en cuenta a la hora de afirmar algo con seguridad. A continuación, estudiamos la noción de consecuencia lógica que se deduce de nuestras Nmatrices cuánticas. Por último, en este mismo capítulo, aplicamos las Nmatrices al sistema lógico de Tzouvaras, la Lógica de la Superposición (LPS) [108, 109]. Este sistema lógico ya cuenta con su semántica original, una semántica de funciones de elección, pero mostramos que las Nmatrices pueden ser una opción de importancia para muchos objetivos. En la parte final de este capítulo, mostramos de qué forma podrían incorporarse los Quasets [39, 66] en la base misma de nuestra semántica Nmatricial. Finalmente, el capítulo 5 es el que contiene las conclusiones y objetivos para futuros trabajos.