Fórmulas en raíces para las subresultantes - Valdettaro, Marcelo Alejandro (2017)
Los objetos centrales de esta tesis son los polinomios subresultantes de dos polinomios en una variable, que son, en el caso de polinomios con raíces simples, múltiplos escalares de lo que hoy se llama sumas de Sylvester de sus conjuntos de raíces, como demostró J.J.Sylvester en 1853. En primer término presentamos aquí una generalización de las sumas de Sylvester para multiconjuntos de manera que sigue valiendo la relación con los polinomios subresultantes. En el caso en que los multiconjuntos tienen suficientes elementos distintos, esta generalización es particularmente elegante ya que tiene el mismo aspecto que las sumas de Sylvester. Cuando no hay suficientes elementos distintos, nuestra generalización esmás compleja ya que necesita introducir polinomios de Schur. Sin embargo cabe mencionar que ejemplos previos parecen indicar que no se va a poder encontrar ninguna generalización sencilla de las sumas de Sylvester para multiconjuntos arbitrarios. Nuestro enfoque introduce un Lema de intercambio que permite interpolar ciertos polinomios simétricos endistintos conjuntos de nodos. Obtenemos además más aplicaciones naturales de este lema, no sólo a otras propiedades de subresultantes sino también a construcciones relacionadas con matrices de Bézout y bases de Gröbner. Finalmente estudiamos completamente el caso particular de dos polinomios con una sola raíz múltiple cada uno y logramos probar que las subresultantes son, en ese caso, un múltiplo escalar de cierto polinomio de Jacobi, módulo un cambio de variables afín. Esto permite obtener, vía la ecuación diferencial satisfecha por los polinomios de Jacobi, una cota optimal de complejidad para determinar los coeficientes de una subresultante en la base monomial. De este modo logramos mejorar,para esta clase de polinomios, las cotas de complejidad que existen para el cálculo de una subresultante de polinomios arbitrarios.