Sobre la entropía algorítmica de objetos abstractos - Moscato, Mariano Miguel (2005)
En la década de 1960 Gregory Chaitin desarrolló una teoría de complejidad (teoría de largo de programa, íntimamente emparentada con la noción de complejidad ideada por Andrei Kolmogorov) para las palabras, y demostró que esta noción puede ser interpretada como una medida de cantidad de información o entropía algorítmica. El sentido de entropía al que se refiere Chaitin es precisamente el dado por Claude Shannon en 1948 que, motivado por el problema de transmitir información eficientemente sobre un canal de comunicación, creó una nueva manera probabilística de pensar las comunicaciones y creo una teoría matemática de la entropía. Esta tesis tiene tres aportes fundamentales. En primer lugar ha sido un estudio detallado de uno de los trabajos menos conocidos y menos citados de Gregory Chaitin [2]. En este trabajo Chaitin define y estudia la entropía de conjuntos recursivamente enumerables. En esta tesis hemos conseguido una reescritura de sus teoremas fundamentales. El segundo aporte se vincula con la pregunta ¿hasta qué punto podemos hablar de la función de complejidad como medida de entropía en universos arbitrarios? El Teorema 5 da condiciones suficientes para esto: pide que exista una función que mapea palabras con elementos de un universo dado, y da condiciones suficientes sobre este mapeo para que la función de complejidad sobre este universo coincida con la de entropía. Y en particular, el Teorema 27 demuestra que el universo de los conjuntos finitos de números naturales (bajo cómputos finitos) admite esta noción de complejidad. Justamente la estrategia usada en esta tesis para demostrarlo se basa en la existencia de un mapeo entre las palabras y los conjuntos finitos que cumple con las condiciones suficientes dadas en el Teorema 5. En el citado trabajo de Chaitin se demuestra que, en general, la noción de complejidad no coincide con la de entropía para conjuntos recursivamente enumerables, excepto para clases particulares de conjuntos. El tercer aporte de esta tesis son dos nuevos teoremas que extienden los de Chaitin, para otra clases de conjuntos. Son los Teoremas 58 y 75.