Interpolación en espacios de Jacobi-Sobolev con pesos y su aplicación a estimaciones de error a posteriori para la versión p del método de elementos finitos - Moreno, Verónica (2015)
En esta tesis analizamos estimaciones de error a posteriori para la versión p del métodode elementos finitos (FEM). En primer lugar, mostramos las diferencias que surgen entre elcaso unidimensional y bidimensional, al considerar indicadores de error de tipo residual parael problema de Poisson con datos de borde de tipo Dirichlet homogéneos. Mientras que enel caso unidimensional, usando indicadores de error con pesos, se obtienen estimaciones aposteriori para la versión hp de FEM con constantes de equivalencia con la norma energíadel error independientes de h y de p [DH], aún no se tienen resultados análogos en másdimensiones. En efecto, las técnicas utilizadas en [DH] no pueden simplemente generalizarseal caso bidimensional y, hasta el momento, para estimadores de tipo residual no se ha podidodemostrar que los estimadores propuestos sean equivalentes a la norma energía del error conconstantes de equivalencia independientes de p, i.e., del grado del polinomio involucrado. Sin embargo, en esta tesis mostramos que estimaciones de error a posteriori casi-óptimas sepueden obtener si trabajamos en espacios de Jacobi-Sobolev con pesos. Usualmente para hacer un análisis a posteriori del método de elementos finitos se necesitanestimaciones de interpolación para funciones en espacios de Sobolev, así como estimacionesinversas para funciones polinomiales. Por lo tanto, para construir un interpolador enespacios de Jacobi-Sobolev con pesos, introducimos primeramente los polinomios de Jacobiy mostramos sus propiedades para luego llevar a cabo un análisis pormenorizado de la dependencia,tanto del grado del polinomio como del peso, de las constantes involucradas ennuestras estimaciones. Presentamos también un análisis de las estimaciones inversas presentesen la bibliografía, con especial cuidado en estudiar como dependen las constantes del pesoque se este considerando. Posteriormente, para el problema modelo de Poisson en dos dimensiones, proponemosun estimador con pesos para la versión p de FEM, y utilizando nuestros resultados de interpolación y las estimaciones inversas, mostramos que estos estimadores son equivalentes alerror en alguna norma adecuada, con constantes óptimas en p. Finalmente, mostramos comonuestros resultados se pueden generalizar a la versi´on hp de FEM.