Óptica geométrica y aproximación WKB de orden superior - Acuña Lai, María Sol (2023)
En esta tesis estudiamos un método basado en la teoría de rayos que se propone encontrar soluciones aproximadas de una clase de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que son las encargadas de describir el fenómeno de propagación de ondas a través de un medio no homogéneo. La aproximación que emplearemos se conoce convencionalmente como aproximación WKB (1926) y consiste en introducir un sistema de coordenadas de rayos, sobre el cual la amplitud y la fase de la solución de onda exhiben variaciones lentas. Es llamada de esta forma por Wentzel, Kramers y Brillouin, quienes popularizaron el método aplicándolo a problemas de mecánica cuántica. Sin embargo, también se debe dar crédito a muchos otros, incluidos Rayleigh y Jeffreys, que contribuyeron a su desarrollo inicial. La teoría de rayos, en la cuál se basa el método WKB, se utiliza prácticamente en todas las áreas de propagación de ondas, incluidas la sísmica, la ciencia atmosférica, la teledetección y telecomunicaciones, la acústica oceánica, la astronomía, la mecánica cuántica y la óptica, entre otras. Una de las limitaciones de la aproximación WKB es que deja de ser válida en zonas donde los rayos convergen o divergen rápidamente, especialmente en regiones donde se cruzan formando cáusticas, situación frecuente en problemas de propagación a grandes distancias. Esta dificultad motivó el desarrollo de numerosos métodos que procuran superar esta situación, en particular, la teoría del índice KMAH (Keller, Maslov, Arnol’d y Hörmander) especifica qu ́e tipo de corrección se debe incorporar cuando un rayo atraviesa una cáustica. En casos generales, estas correcciones suelen ser muy complejas o muy costosas de implementar y las aproximaciones que se obtienen suelen ser poco precisas. Por este motivo, nunca resultó un gran aporte implementar la aproximación WKB a órdenes superiores, como lo afirma Chapman en un fragmento del libro Fundamentals of Seismic Wave Propagation. La principal causa de ruptura de la aproximación de rayos geométricos son las cáusticas y las continuidades en el campo de ondas [...]. En estos casos, la aproximación geométrica o los términos de orden superior son singulares. Los términos de orden superior en la serie de rayos asintóticos son de poca utilidad. Sin embargo, resultados recientes indican potenciales ventajas en el uso de WKB de orden superior, dado que en este método, gracias a una descomposición en zonas acotadas por ciertas “pantallas” (screens), se obtiene un campo WKB que es suave en la totalidad del Figura 1: En la parte superior de la figura se muestra el campo asociado al trazado de rayos graficado en la figura inferior, calculado con el método S-WKB. La figura del medio es la superposición de las dos imágenes. Bruno y Maas dominio. La Figura 1 demuestra el campo obtenido usando este método, pero solo incorporando WKB de orden 1. Se espera que el uso de WKB de orden superior de lugar a mejoras significativas en el error resultante. El objetivo de esta tesis es el desarrollo e implementación de un método eficiente para la obtención de los términos de orden superior de dicha aproximación.