K-teoría bivariante algebraica y problemas de clasificación de ∗-álgebras

• Autores: Arnone, Guido
• Año de publicación: 2025
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Cortiñas, Guillermo Horacio
• Materia: K-TEORIA BIVARIANTE ALGEBRAICA; K-TEORIA GRADUADA; ALGEBRAS DE LEAVITT; CONJETURAS DE HAZRAT; ALGEBRAS DE STEINBERG; HOMOLOGIA DE GRUPOIDES; ALGEBRAIC BIVARIANT K-THEORY; GRADED K-THEORY; LEAVITT PATH ALGEBRAS; HAZRAT’S CONJECTURES; STEINBERG ALGEBRAS; GROUPOID HOMOLOGY
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis desarrollamos herramientas de K-teoría y álgebra homológica para el estudio de problemas de clasificación de ∗ álgebras sobre un ∗-anillo conmutativo y unital. Nos concentramos especialmente en las conjeturas de Hazrat sobre la clasificación graduada de álgebras de Leavitt. Introducimos versiones homotópicamente invariante y hermitiana de los grupos de K-teoría graduada, y los calculamos para toda álgebra de Leavitt de un grafo finito en términos de la K- teoría (homotópica, hermitiana) del anillo base y del llamado módulo de Bowen-Franks del grafo subyacente. Probamos que todo morfismo de módulos punteados preordenados entre módulos de Bowen-Franks de grafos finitos puede levantarse a un ∗-morfismo unital y graduado entre las álgebras de Leavitt asociadas, y más aún que el morfismo puede tomarse de forma que preserve las subálgebras diagonales. Adaptamos al contexto graduado el teorema de clasificación a menos de homotopía de Cortiñas y Montero: demostramos que dos álgebras de Leavitt de grafos primitivos son homotópicamente equivalentes de forma graduada si y sólo si sus módulos de Bowen-Franks son isomorfos como módulos preordenados punteados. En el camino demostramos una serie de resultados estructurales sobre la K-teoría bivariante algebraica graduada y su estructura de categoría triangulada. Por último, estudiamos la homología de Hochschild del álgebra de Steinberg asociada a un grupoide amplio. Para grupoides Hausdorff obtenemos que la homología de grupoides es un sumando directo de la homología de Hochschild. Obtenemos resultados similares para la homología cíclica, así como para sus variantes negativa y periódica.
In this thesis we develop tools from K-theory and homological algebra to study classification problems for ∗-algebras over a commutative unital ∗-ring. We focus especially on the graded classification conjectures for Leavitt path algebras due to Hazrat. We introduce homotopy invariant and hermitian versions of graded K-theory and compute them for any Leavitt path algebra of a finite graph in terms of the (homotopy, hermitian) K-theory of the ground ring and the so-called Bowen-Franks module of the underlying graph. We prove that any morphism between Bowen-Franks modules of finite graphs can be lifted to a unital, graded, diagonal preserving ∗-morphism between the associated Leavitt path algebras. Adapting the homotopy classification theorem due to Cortiñas and Montero, we show that two Leavitt path algebras of primitive graphs are graded homotopy equivalent if and only if their Bowen-Franks modules are isomorphic as pointed preordered modules. Along the way we prove several structural results on graded bivariant algebraic K-theory and its triangulated structure. Finally, we study the Hochschild homology of the Steinberg algebra of an ample groupoid. For Hausdorff groupoids, we show that groupoid homology is a direct summand of Hochschild homology. We also obtain similar results for cyclic homology as well as its negative and periodic variants.
Fil: Arnone, Guido. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.