Collares perfectos anidados - Wodka, Valeria (2024)
Esta tesis se enmarca en el área de la matemática discreta, específicamente en el tema de combinatoria de palabras. Fijemos un alfabeto A. Un collar es una cadena circular. Un collar es (n, k)-perfecto si todas la palabras de longitud n aparecen k veces en el collar, en posiciones con distinta congruencia módulo k, para cualquier convención de la posición inicial. Un collar (n, k)-perfecto es anidado si n = 1, o el collar es la concatenación de |A| collares (n − 1, k)-perfectos anidados. En 2019 Becher y Carton dieron un método para construir todos los collares (n, n)-perfectos anidados en el alfabeto de 2 símbolos para n potencia de 2. En este trabajo mostramos que para un alfabeto de más de 2 símbolos, el método de Becher y Carton no produce todos los collares (n, n)-perfectos anidados, y damos un método para construir nuevos. Específicamente nos concentramos en el alfabeto de 3 símbolos. A partir de razonar sobre la caracterización de collares perfectos anidados mediante ciclos en ciertos grafos de palabras, ideamos un método para construir collares perfectos anidados que no podían construirse con el método conocido. La técnica principal usada en este trabajo es un análisis combinatorio elemental y la resolución de sistemas no lineales de ecuaciones, que tienen una solución sencilla. El método de construcción que damos aquí para collares (n, n)-perfectos anidados en un alfabeto de tres símbolos, para n potencia de 2, se puede generalizar para alfabetos de más símbolos. También creemos que el método que desarrollamos admite muchas variantes que permitirán dar nuevos collares perfectos anidados. El desafío es dar métodos para construir todos los collares perfectos anidados, y contestar a la pregunta de Hofer y Larcher, ¿Cuántos collares perfectos anidados hay?