Isomorfismo fraccionario de grafos e hipergrafos y sus aplicaciones - Tilli, Dora Elena (2016)
Dos grafos G y H son isomorfos (G≃H) si únicamente difieren en cómo están nombrados sus vértices. Dadas las matrices de adyacencia A y B de los dos grafos G y H, tenemos que A se puede calcular como A=PBP⁻¹ donde P es una matriz de permutación (es decir, P tiene sólo un 1 en cada fila y columna y sus demás coeficientes son 0). La relación anterior puede ser escrita como AP = PB. Diremos que G ≈f H (G y H son isomorfos fraccionarios) si se cumple la relación "relajada" AS = SB donde S es una matriz doble estocástica (es decir, S tiene todos sus coeficientes no negativos y la suma de cada columna y de cada fila da 1). Como las matrices de permutación son casos particulares de matrices doble estocásticas, nos queda que dos grafos isomorfos son también isomorfos fraccionarios. Pero mucho más puede ser dicho sobre el isomorfismo fraccionario. Para trabajar con el tema del isomorfismo fraccionario de grafos, seguiremos el capítulo 6 del libro Fractional Graph Theory A rational approach to the theory of graphs de E.R. Scheinermann y D.H. Ullman. Así, la primera parte de esta tesis será simplemente una traducción (con algunos cambios pequeños) del capítulo 6 del mencionado libro. Esta primera parte nos servirá de introducción para entender el "estado del arte" con respecto al isomorfismo fraccionario de grafos. En cambio, las partes siguientes (capítulos 2, 3 y 4 de la tesis) son trabajo original. En particular, en el capítulo 2 extenderemos el concepto de isomorfismo fraccionario de grafos al caso más general de hipergrafos. Utilizando estos hipergrafos, en el capítulo 4 podremos mostrar que los números fraccionarios de empaque y cubrimiento son invariantes por el isomorfismo fraccionario. Para esto, trabajaremos con algunos resultados de la programación lineal (para calcular los números fraccionarios de empaque y cubrimiento necesitamos la noción de hipergrafo y no sólo la de grafo). Por otra parte, en el capítulo 3 estudiaremos el isomorfismo fraccionario de los grafos de línea de grafos dados y analizaremos el análogo fraccionario al teorema de Whitney (dos grafos de línea son isomorfos si y sólo si los grafos originales son isomorfos salvo un único caso particular).