Propiedades homotópicas de los complejos de -subgrupos - Piterman, Kevin Iván (2019)
En esta tesis se investigan las propiedades homotópicas de los posets de p-subgrupos de un grupo finito. Particularmente estudiamos los siguientes problemas: la conjetura de Quillen que relaciona la contractibilidad de estos posets con la existencia de p-subgrupos normales no triviales, la conjetura de Webb sobre los complejos (y posets) de órbitas, y el grupo fundamental de estos posets. Los métodos desarrollados en este trabajo combinan herramientas de la teoría de grupos finitos, la clasificación de grupos simples y sistemas de fusión, con herramientas topológicas y combinatorias. A principios de los 70, D. Quillen relacionó la cohomología equivariante módulo p de los G-espacios con los p-subgrupos elementales abelianos de G. El poset Sp(G) de p-subgrupos no triviales de G fue introducido luego por K. Brown para estudiar la característica de Euler de grupos (no necesariamente finitos), que codifica la presencia de torsión. Unos años más tarde, Quillen introdujo el poset Ap(G) de p-subgrupos elementales abelianos no triviales de un grupo finito G y estudió las propiedades homotópicas de su complejo de orden asociado K(Ap(G)) en relación con las propiedades algebraicas p-locales de G. Así, Quillen probó que K(Ap(G)) y K(Sp(G)) son homotópicamente equivalentes y que si G posee un p-subgrupo normal no trivial entonces estos complejos son contráctiles. La vuelta a esto último es la bien conocida conjetura de Quillen, que actualmente permanece abierta. El resultado más avanzado en esta dirección se debe a M. Aschbacher y S.D. Smith, quienes establecieron la conjetura si p > 5 y los grupos no poseen ciertas componentes unitarias. En esta tesis adoptamos el punto de vista de R.E. Stong de tratar a los posets Ap(G) y Sp(G) como espacios topológicos finitos. Con esta topología intrínseca, estos posets no son homotópicamente equivalentes y la conjetura de Quillen se puede reformular diciendo que si Sp(G) es homotópicamente trivial como espacio finito entonces es contráctil. En general, hay espacios finitos homotópicamente triviales pero no contráctiles (el teorema de Whitehead no es válido en espacios finitos). Respondimos a una pregunta de Stong mostrando que Ap(G) puede ser homotópicamente trivial pero no contráctil y describimos la contractibilidad del espacio finito Ap(G) en términos puramente algebraicos. En este contexto estudiamos la conjetura de P. Webb que afirma que, en término de espacios finitos, los posets Ap(G)'/G y Sp(G)'/G son homotópicamente triviales. La conjetura original de Webb fue probada primero por P. Symonds. En general Sp(G)'/G puede no ser contráctil como espacio finito, pero Ap(G)'/G resultó ser contráctil en todos los ejemplos que calculamos, y conjeturamos que esto debe valer siempre (llamamos a esto la versión fuerte de la conjetura de Webb). En la tesis mostramos la validez de la versión fuerte de la conjetura en diversos casos, utilizando para esto herramientas de sistemas de fusión. El grupo fundamental de los posets de p-subgrupos fue estudiado por varios matemáticos en las últimas tres décadas. Hasta el momento los trabajos más relevantes son los de M. Aschbacher, quien probó condiciones algebraicas necesarias y suficientes para que Ap(G) sea simplemente conexo, módulo una conjetura sobre la cual hay considerable evidencia, y los trabajos de Ksontini quien investigó el grupo fundamental de estos posets cuando el grupo G es un grupo simétrico. En todos los casos estudiados los grupos resultaban siempre libres. En esta tesis probamos que el grupo fundamental de estos complejos es libre en casi todos los casos. En particular vimos que es libre para ciertas extensiones de grupos simples y para todos los grupos resolubles. En general, asumiendo la conjetura de Aschbacher, mostramos que π1(Ap(G)) ≅ π1(Ap(SG)) ∗F, donde F es un grupo libre, SG es un cociente particular de G y π1(Ap(SG)) es libre salvo quizás si SG es casi simple. Además, vimos que π1(A3(A10)) no es libre (acá A10 es el grupo alterno en 10 letras), mostrando que la obstrucción a que los complejos de p-subgrupos sean homotópicos a bouquet de esferas puede aparecer también en el π1. Este es el primer ejemplo en la literatura de un poset de p-subgrupos con grupo fundamental no libre. Por último, nos centramos en el estudio de la conjetura de Quillen. Demostramos que ésta es cierta si K(Sp(G)) admite un subcomplejo invariante de dimensión 2 y homotópicamente equivalente a él, probando así nuevos casos de la conjetura que no eran sabidos hasta el momento. También mostramos que la conjetura se puede estudiar bajo la suposición Op'(G) = 1 (el subgrupo normal de G más grande de orden coprimo con p), extendiendo varios de los resultados conocidos de Aschbacher y Smith a todo primo p. Esto nos permite concluir que la conjetura es cierta si K(Ap(G)) tiene dimensión 3.