Estudio cuántico y semiclásico de billares clásicamente caóticos - Vergini, Eduardo Germán (1995)
Luego de casi un siglo, la relación entre la mecánica cuántica y la mecánica clásicano es aún completamente entendida. Esta incomprensión se extiende a la fundamentaciónde la cuántica: no se sabe en general si o cómo es posible especificarunívocamente la mecánica cuántica de un sistema cuya mecánica clásica es dada: Sinembargo, este problema fundamental de cuantización no es el que ocupa al "Caos Cuántico”. En realidad, el estudio se realiza habitualmente sobre sistemasbastante simples, donde se sabe plantear la mecánica cuántica. En estos sistemas, seintenta entender el límite semiclásico; es decir, el comportamiento de las funcionesde onda y los niveles de energía cuando la constante de Planck Ћ tiende a cero. Estelímite no es igual al límite clásico, para el cual Ћ es precisamente cero pues, en general,las funciones de onda cuánticas no son analíticas en Ћ para Ћ → 0 . Es así que ellímite semiclásico no se puede relacionar al límite clásico, teoría de perturbacionesmediante; por el contrario, retiene una rica e interesante estructura en su seno. Noobstante, debe haber una suerte de principio de correspondencia, de acuerdo con elcual, el límite semiclásico refleje la naturaleza del movimiento clásico subyacente. Loque ha quedado bien establecido en estas últimas décadas de exitosas y prolíferasinvestigaciones en la materia, es que la mecánica semiclásica depende crucialmentedel tipo de movimiento clásico; si éste es regular (predecible, integrable) o irregular (impredecible, caótico, no integrable). Desde luego, estos problemas tienen una amplia variedad de aplicaciones en mecánicacuántica, y más generalmente en todas las ramas de la física y matemática aplicadaque trabajen en el límite de onda corta. Por ejemplo, el espectro de vibración demoléculas no simétricas, los modos de oscilación acústica en habitaciones con formastípicas y la óptica de las guías de onda [1]. Sin embargo, sólo nos ocuparemos de losaspectos más formales del problema, sin buscar aliados que nos resguarden de revelarnuestro más oculto propósito, el entendimiento. Los sistemas que vamos a estudiar son los billares, y como su nombre lo indicaestamos hablando de "billares", aunque nos vamos a permitir cambiar el contornorectangular típico por formas menos recomendables para los ases de las tres bandas. Entre los sistemas hamiltonianos conservativos, los biliares planos constituyenuna subcategoría que ha recibido especial atención. En primer lugar, a nivel clásicocubren un amplio espectro de comportamientos, desde completamente integrables atotalmente caóticos, pudiéndose observar además la estructura tan intrincada quepresenta la transición. En segundo lugar, son más simples que los hamiltonianossuaves pues la interacción se concentra en el borde del billar y esto permite plantearde manera natural una formulación unidimensional. El trabajo de investigación presentado en esta tesis ha consistido en el estudiode métodos de cuantización, que permitan obtener las propiedades estacionarias debillares planos en el límite semiclásico. Es decir, obtener autoestados con longitudesde onda varios órdenes de magnitud inferior a la longitud típica del sistema. Disponerde tal herramienta nos permitirá estudiar efectos de difracción en el borde del billary efectos de localización alrededor de trayectorias periódicas, en regiones de energíamuy elevadas. Los efectos de difracción son tenidos en cuenta mediante la incorporación de ondasplanas evanescentes a las soluciones estacionarias del sistema. Las ondas evanescentesse caracterizan por oscilar rápidamente según una dirección y tener un decaimientoexponencial en la dirección ortogonal. Se estudiará la posibilidad de representardichas soluciones como superposición de ondas planas reales. Dicha representaciónconstituye una generalización en dos dimensiones de funciones superoscilantes de unavariable. Hemos observado las autofunciones en la representación estelar, recientementeintroducida en este contexto. Los ceros de esta representación caracterizan completamentea las funciones de onda. Verificamos ciertas conjeturas respecto a ladistribución de ceros en la regiones clásicamente permitida y prohibida. Los efectos de localización conocidos con el nombre de "scars" se caracterizan porun aumento de la densidad de probabilidad, en un entorno de ciertas trayectoriasperiódicas inestables. Según una conjetura de Berry y Voros, dichos efectos tiendena desaparecer en el límite semiclásico. Se estudiará la validez de dicha conjetura. En este trabajo de investigación hemos obtenido dos resultados de relevancia. Desarrollamosun método novedoso para hallar los autoestados de billares clásicamentecaóticos, el cual esperamos poder generalizarlo a hamiltonianos suaves y conectarlocon la teoría de las trayectorias periódicas. Pudimos entender más profundamentela naturaleza de las soluciones estacionarias al separar la contribución debida a ladifracción; esto nos permitió probar que no es posible alcanzar el límite semiclásicosin tener en cuenta los efectos de difracción. En cuanto a los fenómenos de localización, las conclusiones al presente son solocualitativas. Sin embargo, hemos ajustado y dispuesto la maquinaria pesada necesaria,estando en inmejorables condiciones para tratar de ensamblar las piezas de esterompecabezas clásico-cuántico. Si bien este trabajo se ha sustentado en gran cantidad de estudios analíticos ynuméricos, hemos intentado una presentación concisa, en un lenguaje coloquial queesperamos sea amena y clara (al menos en líneas generales) al lector.