Congruencias entre formas modulares modulo potencias de primos - Camporino, Maximiliano (2015)
A lo largo de esta tesis hemos trabajado fundamentalmente en el problema de congruenciasentre formas modulares módulo potencias de primos. La pregunta disparadora del trabajorealizado fue la siguiente: dada una forma modular f, autoforma para los operadores de Hecke, y una potencia de un número primo pn, >existe una autoforma g, distinta de f, demodo tal que f y g sean congruentes módulo pn? El enfoque utilizado para dar respuesta a esta pregunta fue la adecuación de las ideasde los trabajos [Ram99] y [Ram02], en los que por métodos algebraicos se intenta levantarrepresentaciones de Galois con imagen en anillos de torsión a anillos de característica 0. Mediante la adaptación de estos métodos a las representaciones asociadas a f módulo pn selogra dar una respuesta exhaustiva a la pregunta inicial en la mayoría de los casos. La presente tesis se divide en dos capítulos. En el primero se estudia el problema correspondienteal caso en el que el anillo generado por los coeficientes de la forma f es noramificado en el primo p. En este caso las ideas de [Ram99] y [Ram02] se logran adaptarsin mayores inconvenientes. En el segundo capítulo se aborda el caso en el que p ramifica enel anillo de coeficientes de f. Este escenario plantea un problema técnico que solo pudo serresuelto cuando la forma f es ordinaria. Si bien ambos capítulos giran en torno a la mismaidea central, los problemas técnicos que aparecen en cada uno de los casos requieren emplearestrategias esencialmente distintas para su resolución.