Grado de Brouwer : una construcción y algunas aplicaciones a problemas no lineales - Monzón, Nelson Hugo (2017)
En la presente tesis nos interesa hacer una construcción analítica del grado de Brouwer y tratar su existencia y unicidad respecto a un sistema de axiomas. Asimismo, deseamos ilustrar la aplicación de dicha herramienta a los problemas no lineales (no resonante y resonante), primero en un contexto abstracto y luego en algunos ejemplos concretos. La axiomatización seleccionada se debe a Deimling y consta de tres propiedades principales. Con base en dicha axiomatización construimos el grado en Rn de manera analítica y elemental, utilizando una versión modificada de la definición integral dada por Heinz, que no involucra necesariamente funciones radiales. Mostramos, además, que tal definición puede emplearse para el grado de funciones C1. Luego tratamos la unicidad del grado usando argumentos similares a los que se encuentran en “Nonlinear functional analysis” y , “Brouwer degree and applications”. Complementamos lo hecho con la generalización del grado a espacios vectoriales de dimensión finita y una fórmula de reducción, que nos serán de utilidad para estudiar el siguiente tema. A continuación, tratamos los problemas no resonante y resonante, en un contexto abstracto de dimensión finita. Para ello combinamos los enfoques hallados en “Topological methods in the study of boundary value problems” y “Brouwer degree and applications”. Finalmente, aplicamos los resultados abstractos demostrados a algunos problemas de ecuaciones en diferencias finitas de segundo orden. Demostramos en este caso los resultados expuestos en “Brouwer degree and applications”, con algunas modificaciones.